Από το να παίζεις με τα μαθηματικά στο να τα θαυμάζεις

Στο Recreamaths, πιστεύουμε ότι η μάθηση των μαθηματικών πρέπει να είναι διασκεδαστική. Δείχνοντας στα παιδιά ότι η επίλυση μαθηματικών προβλημάτων μπορεί να παρομοιαστεί με ένα παιχνίδι είναι χωρίς αμφιβολία ένας αποτελεσματικός τρόπος για να εξασφαλιστεί ότι θα αναπτύξουν ισχυρές δεξιότητες αριθμητικής για το μέλλον.

Υπάρχει, ωστόσο, και ένας άλλος τρόπος ενθάρρυνσης των παιδιών να ασχοληθούν πληρέστερα με τα μαθηματικά, και αυτός είναι λιγότερο κοινός από τον προαναφερθέντα. Αυτός επιτρέπει στα παιδιά να παρατηρήσουν μόνα τους την ομορφιά των μαθηματικών. Γιατί ναι, τα μαθηματικά δεν είναι μόνο διασκεδαστικά, αλλά και όμορφα.

Η ομορφιά των μαθηματικών σε οπτικές συνθέσεις: συμμετρία και αναλογία

Οι άνθρωποι κατανοούν με διαφορετικό τρόπο ο καθένας την ιδέα της ομορφιάς των μαθηματικών. Μια σκέψη που μας έρχεται συνήθως στο μυαλό είναι το γεγονός ότι οι μαθηματικές έννοιες βρίσκονται παντού στον κόσμο και ότι τέτοιες έννοιες δεν δομούν τον κόσμο μόνο με τον τρόπο που λειτουργούν, αλλά και με τον τρόπο που φαίνονται. Με άλλα λόγια, δομούν οπτικά τον κόσμο και το κάνουν αυτό διαρκώς εμποτίζοντάς τον με μια αίσθηση ισορροπίας και αρμονίας, ή με άλλα λόγια ομορφιάς.

Πράγματι, η ισορροπία συνδέεται στενά με την έννοια της ομορφιάς μέσω της έννοιας της αρμονίας. Η ισορροπία δίνει σε μια σύνθεση – είτε οπτική, είτε μουσική, είτε σε κάποιο άλλο καλλιτεχνικό μέσο – μια αίσθηση αρμονίας με την οποία εμείς οι άνθρωποι αντιλαμβανόμαστε το ωραίο. Οι συμμετρικές συνθέσεις, για παράδειγμα, φιλοτεχνούνται και θαυμάζονται εδώ και αιώνες σε όλους τους πολιτισμούς του κόσμου για την ομορφιά τους. Αυτό ισχύει είτε οι συνθέσεις αυτές είναι δομημένες κατά μήκος μιας κεντρικής είτε μιας αξονικής συμμετρίας σε ένα δισδιάστατο επίπεδο.

Η διακόσμηση της κύριας εισόδου της μαντράσας του Mir-i-Arab, από το συγκρότημα του Po-i-Kalyan στην Bukhara του Ουζμπεκιστάν

Η συμμετρία μπορεί επίσης να προκύψει και σε τρισδιάστατα επίπεδα. Μπορεί να εκδηλωθεί σε όγκους όταν ένας όγκος κομμένος στο μισό παράγει δύο πανομοιότυπους όγκους όπως στην ακτινική συμμετρία, ή όταν ένας όγκος αποτελείται από μικρότερους, πανομοιότυπους όγκους, όπως στα φράκταλ. Τέτοιοι συμμετρικοί όγκοι και πάλι θεωρούνται ευχάριστοι στο μάτι, αλλά και στο μυαλό. Στην πραγματικότητα, ο Πλάτωνας θεωρούσε τη σφαίρα – τον κατ’ εξοχήν ακτινικό όγκο, δεδομένου ότι οποιαδήποτε από τα δύο μισά του είναι πανομοιότυπα – «την πιο συμμετρική και ομοιογενής μορφή που υπάρχει. Και γι’ αυτό είναι η πιο όμορφη και τέλεια μορφή απ’ όλες».

Κουνουπίδι Romanesco

Αλλά μια ακόμη παλαιότερη μαθηματική έννοια από τη συμμετρία – δηλαδή αυτή της αναλογίας – παίζει επίσης σημαντικό ρόλο στον ορισμό της έννοιας της ομορφιάς. (Άλλωστε, η αρχαία ελληνική λέξη συμμετρία αναφερόταν σε συγκρίσιμες αναλογίες, προτού η έννοια της διευρυνθεί στην αρχή της οπτικής αντίληψης στην οποία αναφέρεται σήμερα.) Και εδώ πάλι, τα μαθηματικά είναι η γλώσσα που καθορίζει, χαρακτηρίζει και δομεί την αρμονία και την ομορφιά.

Η χρυσή τομή αναφέρεται συχνά ως η μαθηματική αναλογία που δίνει μια αίσθηση αρμονίας και ομορφιάς στις οπτικές συνθέσεις – και αυτές που θα μπορούσαν να προκύψουν τόσο φυσικά όσο και τεχνητά – από τις αναλογίες του ανθρώπινου σώματος και τον ναυτίλο σε εκείνες του Παρθενώνα και των Πυραμίδων. Αξίζει να σημειωθεί ότι η χρυσή τομή αναφέρεται και στα φυσικά φαινόμενα, όπως ο ρυθμός με τον οποίο αναπτύσσονται τα φύλλα ενός δέντρου, για παράδειγμα.

Κέλυφος Ναυτίλου

Μαθηματική ομορφιά στην πρακτική των ίδιων των μαθηματικών

Αλλά ενώ μερικοί άνθρωποι μπορεί να σκέφτονται τη συμμετρία και την αναλογία ως τις μόνες – ή τουλάχιστον τις κύριες – εκδηλώσεις της ομορφιάς των μαθηματικών, άλλοι μπορεί να έχουν κάτι άλλο στο μυαλό τους. Οι μαθηματικοί ειδικότερα αλλά και οποιοσδήποτε αρέσκεται στην μαθηματική σκέψη και την επίλυση προβλημάτων, μπορεί να απολαύσει την ομορφιά των μαθηματικών.

Πράγματι, πολλοί άνθρωποι θαυμάζουν την ομορφιά των μαθηματικών που προκύπτει σε διάφορες περιπτώσεις και κυρίως σε αυτές τις δύο: 1) στη μέθοδο, όταν επιλύουν ένα σύνθετο πρόβλημα με μια απλή – αλλά λογική και επαρκή – λύση · 2) στο αποτέλεσμα, όταν καταλήγουν σε ένα φαινομενικά απροσδόκητο συμπέρασμα από ένα αρκετά διαφορετικό σύνολο προϋποθέσεων.

Παραδείγματα της πρώτης περίπτωσης θα μπορούσαν να είναι τα πολλά θεωρήματα και οι μαθηματικοί τύποι που απομνημονεύουμε στο σχολεία, καθένα από τα οποία είναι το συνεπακόλουθο πολλών διαφορετικών προσπαθειών να αποδειχθεί το ίδιο τελικό αποτέλεσμα, αν και με περισσότερα βήματα και πιο εκτενείς όρους.

Παραδείγματα της τελευταίας περίπτωσης θα μπορούσαν να είναι ταυτότητες όπως η εκείνη του Όιλερ – την οποία ο Feynman ανέφερε ως «κόσμημα» καθώς και «τον πιο αξιοσημείωτο τύπο στα μαθηματικά» – η οποία καθιερώνει μια μαθηματική σχέση από ένα σύνολο βασικών αριθμητικών πράξεων (πρόσθεση, εκθετικοποίηση και πολλαπλασιασμός) μεταξύ αυτών των θεμελιωδών μαθηματικών σταθερών (π, i και ε):

Αλλά ο μαθηματικός Serge Lang επιμένει ότι κάποιος πρέπει να ασκηθεί στα μαθηματικά και να τα κατανοήσει για να είναι σε θέση να εκτιμήσει την ομορφιά τους – κάτι που δεν μπορεί επίσης να εξηγήσει – και ότι η ομορφιά αυτή γίνεται περισσότερο αντιληπτή στα θεωρητικά παρά στα εφαρμοσμένα μαθηματικά. Καταλήγουμε λοιπόν στο συμπέρασμα ότι τα μαθηματικά δεν είναι μόνο το μέσο για την επίτευξη ενός σκοπού ούτε μόνο ένα εργαλείο της φυσικής, της αρχιτεκτονικής ή της λογιστικής αλλά κάτι πολύ ευρύτερο απ’ ό,τι το άθροισμα των μερών τους, κάτι μεγαλύτερο από την απλή επεξεργασία των αριθμών ή των σχημάτων. Ακριβώς όπως η μουσική δεν είναι μόνο μια συλλογή από νότες, έτσι λοιπόν και τα μαθηματικά δεν είναι μόνο αριθμοί και εξισώσεις. (5)

Παρτιτούρα

Ο Serge Lang συνεχίζει εξηγώντας αυτόν τον παραλληλισμό με τα πιο κάτω λόγια:

«Όταν γράφεις ένα μουσικό κομμάτι χρησιμοποιείς νότες, αλλά οι νότες δεν είναι η μουσική. Η ανάγνωση ενός μουσικού κομματιού από το γραπτό κείμενο δεν υποκαθιστά την ακρόαση του κομματιού στο Κάρνιγκι Χολ ή αλλού. Η λογική είναι η υγιεινή των μαθηματικών, όπως η γραμματική και η σύνταξη είναι η υγιεινή της γλώσσας – και ακόμα και τότε! «Κάτω από το μπαμ, κάτω από το μπου, κάτω από το μπαμπού δέντρο…», δεν υπάρχει γραμματική. Αυτό που έχει σημασία στο έργο του Σαίξπηρ ή του Γκαίτε, δεν είναι η γραμματική ή η σύνταξη. Είναι η ποίηση, το μουσικό αποτέλεσμα των λέξεων, οι ποιητικοί υπαινιγμοί, ο αισθητικός ιμπρεσιονισμός και πολλά άλλα πράγματα. Όμως, ενώ η ομορφιά της ποίησης «χλομιάζει» με τη μετάφραση, η ομορφιά των μαθηματικών είναι αμετάβλητη κάτω από τους γλωσσικούς μετασχηματισμούς. (18)

Έτσι, όταν ενθαρρύνετε τα παιδιά σας να ενασχοληθούν με μαθηματικά, μην προσπαθείτε μόνο να τα πείσετε ότι αυτά είναι ευχάριστα, προσπαθήστε να τους δείξετε επίσης ότι τα μαθηματικά είναι όμορφα – περισσότερο από τη λογοτεχνία και τη μουσική κατά κάποιο τρόπο – και ότι για να εκτιμήσουν αυτή την ομορφιά, θα πρέπει πρώτα να την κατανοήσουν.

Πηγές

  • Lang, Serge. The beauty of doing mathematics: Three public dialogues. Springer Science & Business Media, 1985.
  • Museu do Amanhã. The hidden beauty of mathematics. Google Arts & Culture. <https://artsandculture.google.com/story/XAVxHxByw1SoIw> accessed on December 11th 2022.

Μέσα